我经常跟身边的朋友做一个看起来挺无聊的测试。
大家坐在一起聊天的时候，我突然问一句：“咱们都知道π是多少吧？”
这招百试百灵，绝大多数人都能顺口接一句：“3.1415926……”
我又接着问：“那 sin30 度等于多少？”
这一样是送分题，大家条件反射地就能回答0.5或者1/2。
气氛烘托到这儿，我抛出了第三个问题：
“那你们谁能用人话跟我解释一下，π 到底是个什么东西？”
通常这个时候，空气就突然安静了。
这就是我们过去十几年受到的教育里一个特别尴尬的现象：我们被训练成了人形计算器。我们极其擅长背诵数值，擅长套用公式（比如圆面积是 $\pi r^2$），但对于这些数学概念背后的“真实身份”，我们其实是一无所知的。
这种“知其然不知其所以然”的状态，我在学校里没觉得有什么问题。直到后来我开始学编程，开始接触真正的工程代码时，现实狠狠给了我一巴掌。
那个“算错”了的代码
有一次我想在屏幕上模拟一个简单的波形，或者做一个物体的摆动动画。我理所当然地调用了编程语言里的正弦函数，写下了类似这样的一行代码：
x = Math.sin(30)
我满心以为计算机非常聪明，会立刻给我返回 0.5。
结果程序跑出来，这行代码返回的是 -0.988。
我当时盯着屏幕看了半天，心想是不是这一版的库有bug？我不信邪，又试了试 Math.cos(60)，结果出来的也不是 0.5，而是一串乱七八糟的负数。
后来翻了文档，才在不起眼的角落里发现一行小字：“注意：参数必须是弧度（radians），而非角度。”
那一刻我是崩溃的。我心想，全世界通用的不都是 360 度吗？你看钟表、看量角器、看经纬度，哪里不是用的度数？为什么到了计算机这里，到了信号处理和高等数学这里，非要搞一个带着 $\pi$ 的“弧度”？这难道不是故意把简单问题复杂化吗？
为了搞懂这个问题，我把扔掉多年的数学书捡了起来，硬着头皮去推导。最后我发现：不是数学家在装神弄鬼，而是“360度”这个概念，本身就是人类历史上的一个“凑合”。
度数：一把刻度随意的尺子
咱们先琢磨一下，为什么一圈是 360 度？
其实这完全是个历史遗留问题。古巴比伦人观察天象，觉得太阳绕地球（视觉上）转一圈大概是 365 天，再加上他们特别迷恋 60 进制（因为 60 这个数字好算，能被 2、3、4、5、6 整除），为了方便计算，就大概齐凑了个整，把圆切成了 360 份。
换句话说，如果人类只有 8 根手指，或者要是换个外星文明，他们的一圈可能就是 100 度，或者 500 度。
发现了吗？“度数”是人造的。它是我们为了方便干活，强行加给圆的一把尺子。这把尺子跟圆本身的几何形状，其实半毛钱关系都没有。
用这把“人造尺子”去搞搞简单的土木建筑还行，但一旦到了这种需要描述宇宙本质规律的时候（比如物理公式、计算机算法），大自然是不认这套人造规则的。
大自然只认它自己的语言。
弧度：用圆自己来量自己
那大自然的语言是什么？就是那个让我们头大的“弧度”。
很多人觉得弧度难懂，是因为教科书没讲人话。其实弧度的逻辑简直简单到令人发指，它只有这一个动作：
拿起圆的半径，把它像软绳一样弯曲，贴在圆的边上。
就是这么朴素。你拿半径去量圆的周长。
当圆边上的弧长，刚好等于半径的长度时，这个张开的角度，就定义为 1 弧度。
这不仅仅是一个定义，这是一种思维方式的转变。
以前我们用度数，是拿“360”这个外来的框框去套圆；
现在我们用弧度，是拿圆自己的半径（r）去量圆自己（s）。
$$\text{弧度} = \frac{\text{弧长}}{\text{半径}}$$
大家注意看这个除法。分子是长度（米），分母也是长度（米）。这一除，单位消掉了。
所以，弧度不是一个“单位”，它是一个纯粹的比例数值。
这时候，那个神秘的 $\pi$ 终于要登场了。
既然 1 弧度代表“走了 1 个半径的距离”。
那么，绕圆走一整圈，路程是多少？我们小学就背过，周长 $C = 2\pi r$。
这意味着，走完一圈，相当于走了 $2\pi$ 个半径那么远。
所以，一圈 = $2\pi$ 弧度。
半圈 = $\pi$ 弧度。
你看，$\pi$ 根本不是什么“约等于 3.14”的死板数字。在这里，$\pi$ 代表的是一种几何上的必然。只要你拿半径去量圆周，你就一定会遇到 $\pi$。它是圆这个形状自带的基因，是锁死在圆周率里的密码。
为什么工程界必须“抛弃”度数？
说回到最开始那个代码报错的问题。为什么计算机和物理学家非要用弧度？用度数真的就不行吗？
还真不行。因为一旦涉及到“变化”（也就是微积分），度数体系就会崩盘。
在数学里，有一个美得像诗一样的规律：
正弦函数的导数，就是余弦函数。
也就是：$(\sin x)’ = \cos x$
这描述的是波动最本质的特性：位置的变化率，刚好对应相位的偏移。在处理声波、光波、交流电信号时，这个公式让计算变得无比丝滑。
但是！这个完美公式，只有在 x 是弧度时才成立。
如果你非要头铁，硬要用度数来求导，这个公式就会变成一个怪物：
$(\sin x)’ = \frac{\pi}{180} \cos x$
看见那个讨厌的 $\frac{\pi}{180}$ 了吗？
如果你坚持用度数，以后你的每一次运算，无论是算傅里叶变换，还是做泰勒展开，这个累赘的系数都会像幽灵一样缠着你。随着计算步骤的增加，这些系数会不断相乘、叠加，最后把原本优雅的公式变成一堆没人看得懂的垃圾。
所以，为了让数学和物理的大厦不倒塌，科学家和工程师们达成了默契：把“度数”扔进历史的垃圾堆，只在日常生活中用用；在真正的科学计算里，必须用弧度。
重新认识三角函数
写到这，我希望能帮你打破一点点对三角函数的刻板印象。
初中老师教我们的“对边比斜边”，那是三角函数的“婴儿期”。如果三角函数只能用来算三角形的边长，那它根本不配成为现代科技的基石。
真正的 $\sin$ 和 $\cos$，应该叫**“圆函数”**。
你闭上眼睛，想象一个点，在半径为 1 的圆上逆时针转圈。
- 你输入的，不是角度，而是你沿着圆边走了多远（弧度）。
- 你得到的 $\cos$，是你现在位置的 横坐标。
- 你得到的 $\sin$，是你现在位置的 纵坐标。
就这么简单。
随着你不断地转圈，纵坐标（$\sin$）就在 -1 到 1 之间来回震荡，画出了那条优美的波浪线。
之所以它的周期是 $2\pi$，不是谁规定的，是因为转一圈的路程刚好是 $2\pi$。
写在最后
我写这篇东西，不是为了教大家怎么解题。我是觉得，如果我们早一点知道这些，也许当年在背诵 $\pi=3.14$ 的时候，在死记硬背 $\sin 30^{\circ}=0.5$ 的时候，脑海里能多一幅画面。
那不是枯燥的数字，那是圆的运动。
下次当你再看到代码里的 Math.sin(PI)，或者看到物理公式里的 $\omega t$，别再觉得烦躁。试着去感受一下，那其实是人类用最纯粹的数学语言，在描述大自然最本质的心跳。
这，大概才是数学真正性感的地方吧。
